数据结构与算法（一）| 时间复杂度与空间复杂度

算法时间复杂度

算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记做： T(n) = O(f(n)) . 它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐进时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n) 是问题规模n的某个函数。文章源自编程技术分享-https://mervyn.life/d0c251c3.html

大O阶推导

推导大O阶的方法如下：文章源自编程技术分享-https://mervyn.life/d0c251c3.html

• 用常数1取代运行时间中的所有加法常数
• 修改后的运行次数函数中，只保留最高项
• 如果最高阶存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数
• 得到的最后结果就是大O阶。

例：文章源自编程技术分享-https://mervyn.life/d0c251c3.html

int sum = 0, n = 100;
printf("hello world\n");
printf("hello world\n");
printf("hello world\n");
printf("hello world\n");
printf("hello world\n");
sum = (1+n)*n /2;

参考上述推导方法一可以知道，上述代码的大O 是 O(1)文章源自编程技术分享-https://mervyn.life/d0c251c3.html

例：文章源自编程技术分享-https://mervyn.life/d0c251c3.html

int i, n = 100; sum = 0;
for (i = 0; i < n; i++) {
    sum = sum + i;
}

上述代码大O为 O(n)。文章源自编程技术分享-https://mervyn.life/d0c251c3.html

例1：文章源自编程技术分享-https://mervyn.life/d0c251c3.html

int i, j, n = 100;
for (i = 0; i < n; i++) {
    for (j = 0; j < n; j++) {
        printf("Hello\n");
    }
}

外层每执行一次，内层执行100次。总的执行次数为 100 * 100。即 n 的平方。此时 大O 为 O(n^2)文章源自编程技术分享-https://mervyn.life/d0c251c3.html

PS:如果是三层嵌套则为 O(n^3)

例2：文章源自编程技术分享-https://mervyn.life/d0c251c3.html

int i, j, n = 100;
for (i = 0; i < n; i++) {
    for (j = i; j < n; j++) {
        printf("Hello\n");
    }
}

根据上述代码可知，总的执行次数为文章源自编程技术分享-https://mervyn.life/d0c251c3.html

n + (n-1) + (n-2) + ... + 1 = n(n+1)/2
n(n+1)/2 = n^2/2 + n/2

根据上述推导方法，没有常数第一条忽略，第二条只保留最高项，所以可以去掉 n/2 , 第三条去掉与最高项相乘的常数，最终得到结果为 O(n^2)文章源自编程技术分享-https://mervyn.life/d0c251c3.html

int i = 1, n = 100;
while( i < n) {
    i = i * 2;
}

假设有x个2相乘大于等于n，则退出循环。文章源自编程技术分享-https://mervyn.life/d0c251c3.html

2^x = n
x = log(2)n

所以大O 为 O(logn)文章源自编程技术分享-https://mervyn.life/d0c251c3.html

时间从小到大依次是：文章源自编程技术分享-https://mervyn.life/d0c251c3.html

O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n^2) < O(n^3) < O(2^n) < O(n!) < O(n^n)

算法空间复杂度

算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现，记做：S(n) = O(f(n)) . 其中n为问题规模，f(n) 为语句关于n所占存储空间的函数文章源自编程技术分享-https://mervyn.life/d0c251c3.html