数据结构与算法(一)| 时间复杂度与空间复杂度

mervyn 2019年6月1日13:41:08数据结构与算法数据结构与算法(一)| 时间复杂度与空间复杂度已关闭评论41

算法时间复杂度

算法的时间复杂度,也就是算法的时间量度,记做: T(n) = O(f(n)) . 它表示随问题规模n的增大,算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同,称作算法的渐进时间复杂度,简称为时间复杂度。其中f(n) 是问题规模n的某个函数。文章源自Mervyn's Blog-https://mervyn.life/d0c251c3.html

大O阶推导

推导大O阶的方法如下:文章源自Mervyn's Blog-https://mervyn.life/d0c251c3.html

  • 用常数1取代运行时间中的所有加法常数
  • 修改后的运行次数函数中,只保留最高项
  • 如果最高阶存在且不是1,则去除与这个项相乘的常数
  • 得到的最后结果就是大O阶。

常数阶

例:文章源自Mervyn's Blog-https://mervyn.life/d0c251c3.html

int sum = 0, n = 100;
printf("hello world\n");
printf("hello world\n");
printf("hello world\n");
printf("hello world\n");
printf("hello world\n");
sum = (1+n)*n /2;

参考上述推导方法一可以知道,上述代码的大O 是 O(1)文章源自Mervyn's Blog-https://mervyn.life/d0c251c3.html

线性阶

例:文章源自Mervyn's Blog-https://mervyn.life/d0c251c3.html

int i, n = 100; sum = 0;
for (i = 0; i < n; i++) {
    sum = sum + i;
}

上述代码大O为 O(n)文章源自Mervyn's Blog-https://mervyn.life/d0c251c3.html

平方阶

例1:文章源自Mervyn's Blog-https://mervyn.life/d0c251c3.html

int i, j, n = 100;
for (i = 0; i < n; i++) {
    for (j = 0; j < n; j++) {
        printf("Hello\n");
    }
}

外层每执行一次,内层执行100次。总的执行次数为 100 * 100。即 n 的平方。此时 大O 为 O(n^2)文章源自Mervyn's Blog-https://mervyn.life/d0c251c3.html

PS:如果是三层嵌套则为 O(n^3)

例2:文章源自Mervyn's Blog-https://mervyn.life/d0c251c3.html

int i, j, n = 100;
for (i = 0; i < n; i++) {
    for (j = i; j < n; j++) {
        printf("Hello\n");
    }
}

根据上述代码可知,总的执行次数为文章源自Mervyn's Blog-https://mervyn.life/d0c251c3.html

n + (n-1) + (n-2) + ... + 1 = n(n+1)/2
n(n+1)/2 = n^2/2 + n/2

根据上述推导方法,没有常数第一条忽略,第二条只保留最高项,所以可以去掉 n/2 , 第三条去掉与最高项相乘的常数,最终得到结果为 O(n^2)文章源自Mervyn's Blog-https://mervyn.life/d0c251c3.html

对数阶

int i = 1, n = 100;
while( i < n) {
    i = i * 2;
}

假设有x个2相乘大于等于n,则退出循环。文章源自Mervyn's Blog-https://mervyn.life/d0c251c3.html

2^x = n
x = log(2)n

所以大O 为 O(logn)文章源自Mervyn's Blog-https://mervyn.life/d0c251c3.html

常见的时间复杂度

例子 时间复杂度 术语
242342 O(1) 常数阶
3n+4 O(n) 线性阶
3n^2+4n+5 O(n^2) 平方阶
n^3+2n^2+3n+1 O(n^3) 立方阶
3log(2)n + 4 O(logn) 对数阶
2n+3nlog(2)n+14 O(nlogn) nlogn阶
2^n O(2^n) 指数阶

时间从小到大依次是:文章源自Mervyn's Blog-https://mervyn.life/d0c251c3.html

O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n^2) < O(n^3) < O(2^n) < O(n!) < O(n^n)

算法空间复杂度

算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现,记做:S(n) = O(f(n)) . 其中n为问题规模,f(n) 为语句关于n所占存储空间的函数文章源自Mervyn's Blog-https://mervyn.life/d0c251c3.html

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